Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Onsdagen den 30 maj, Teoridel Ê Á Ê. B B T Ë k B T Ê. exp m BBˆ.

Transkript

1 Lösningsförslag till deltentamen i IM60 Fasta tillståndets fysik Paramagnetism i ett tvånivåsystem Onsdagen den 30 maj, 0 Teoridel. a) För m S = - är m S z = -m B S z = +m B och energin blir U = -m B B och för m S = + är m Sz = -m B och energin blir U = +m B B. Med en Boltzmannfördelning mellan de båda energinivåerna (N atomer på lägsta nivån, N atomer på högsta nivån och totalt finns N tot = N + N atomer) blir fördelningen av antalet atomer per energinivå: N N tot = N N tot = k + exp - E = B T ˆ + exp - m BBˆ exp - m BBˆ k + exp - E = B T ˆ exp m B B ˆ + exp - m B B ˆ Den totala volymmagnetiseringen blir nu med N N tot V : M = N +m B ( ) + N (-m B ) V = N tot V - exp - m BBˆ m k B B T + exp - m = Nm BBˆ B tanh m BBˆ b) För höga temperaturer (T > 0) gäller att m BB << och vi kan utnyttja serieutvecklingen tanh( x) ª x, vilket ger att susceptibiliteten: c = m 0 M B ª Nm 0m B B m B B = Nm 0m B = C T (Curies lag) c) Gd(C H 3 SO 4 ) 3, eftersom det materialet innehåller en sällsynt jordartsmetall (Gd), där 4felektronerna i Gd-atomerna kommer att ge ett paramagnetiskt bidrag. I övriga material i listan förväntar man sig endast ett diamagnetiskt bidrag (fyllda skal). Halvledare. a) Det finns två möjliga val av kombinationer och det räcker att man har valt endera av kombinationerna: Alternativ : Elektroner, ledningsband, donator, n-dopning

2 Den elektriska ledningen i ledningsbandet sker med hjälp av elektroner och denna ledning kan kontrolleras med hjälp av donatorer för att ge en n-dopning av materialet., Donatorerna är störatomer som har en extra elektron i sitt yttre skal, vilka lätt kan exciteras så att de blir till fritt rörliga elektroner i ledningsbandet. Alternativ : Hål, valensband, acceptor, p-dopning Den elektriska ledningen i valensbandet sker med hjälp av hål och denna ledning kan kontrolleras med hjälp av acceptorer för att ge en p-dopning av materialet.. Acceptorerna är störatomer som saknar en elektron i sitt yttre skal, vilka gör att de lätt kan binda elektroner från valensbandet. Därvid uppstår extra hål i valensbandet, vilka leder den elektriska strömmen. b) Den primitiva enhetscellen i Si har två atomer i basen (två förskjutna fcc-gitter ger 8 atomer i basen till den kubiska enhetscellen och 8/4= atomer i basen till den primitiva enhetscellen). Varje atom avger st 3s-elektroner och st 3p-elektroner till elektronbanden. Tillsammans ger detta att det finns *(+)=8 elektroner per primitiv enhetscell. Varje band innehåller två elektroner (en med spinn upp och en med spinn ner), varför det bildas 8/ = 4 fyllda elektronband med överlappande elektroner. Kritiska fält i en typ-ii supraledare 3. a) När supraledaren har nått H c är gitteravståndet i vortexgittret a 0 = x. I ett triangulärt 3 gittersystem är den primitiva enhetscellen area A = a 0 a 0 = 3 ( x) = 3x (arean av romben i figuren nedan). Varje enhetscell innehåller exakt en vortex och således ett flödeskvantum F 0, vilket betyder att vid det övre kritiska fältet gäller att: B = F 0 A = F 0 3x fi H c = B F = 0 m 0 3m 0 x a 0 a a b) Den högsta strömtätheten måste uppenbarligen erhållas närmast vortexkärnan, eftersom både -ln r l och pl r e-r l är avtagande funktioner då r ökar och K 0 ( r) således är en avtagande funktion av r. Detta är även rimligt ut fysikalisk synvinkel, eftersom skärmströmmar i en supraledare endast förekommer på ytan av supraledaren. Nära

3 vortexkärnan gäller enligt uppgiften att B z ( r) = - F 0 cylinderkoordinater att: J = H = B = - B z Á m 0 m 0 r ˆ F j ˆ = 0 pm 0 l r l ( ) l ˆ Det största värdet fås nu när r = x, dvs. det sökta uttrycket är: J max = J( x) = F 0 pm 0 l x Brillouinzoner i dimensioner Beräkningsdel. De två första Brillouinzonerna är markerade i figuren nedan. pl ln r ˆ. Ampere s lag ger i l F 0 j = pm 0 l j ˆ r Magnetism i Ho 3 SbO 7. a) 7 syreatomer tar upp 4 elektroner, varav 5 kommer från Sb och 9 från Ho. Därför avger varje Ho.atom 3 st elektroner, varav två kommer från 6s-skalet och den sista kommer från 4fskalet. Elektronkonfigurationen hos Ho 3+ blir således 4f 0 5s p 6. Enligt Hunds regler ska vi först maximera det totala spinnet S = Â m s och sedan maximera det totala banimpulsmomentet L = Â som överensstämmer med detta S. Grafiskt får vi att: m L

4 m L Av figuren ser vi att: m S +/ -/ S = Â m S = (7-3) = och L = Â m L = 3+ += 6 Enligt den sista av Hunds regler är då J = L + S = 8 Antalet effektiva Bohrmagnetoner beräknas ur formeln p = g J( J +) där Landéfaktorn g =+ J ( J + ) + S( S +) - L( L +) J( J +) Insättning av värdena ovan ger att: g =+ =,5 fi p =,5 8 9 =0,6 8 9 b) Susceptibiliteten hos en paramagnet ges av Curies lag, varför vi har att: c = C T = Np m 0 m B 3 = 4 p m 0 m B abc där vi har utnyttjat att antalet Ho-atomer är N = N atom = för den ortorombiska V abc enhetscellen med volymen V = abc med Ho-atomer per enhetscell. Numeriskt blir detta: ( ) ( ) 3, ,6 4p 0-7 9, c = 0,486 7,44 7, = 0,0076 c) Att materialet är antiferromagnetiskt med en mycket låg Néeltemperatur, T N, betyder att den inversa susceptibiliteten kommer att vara högre än för en ren paramagnet vid temperaturer strax ovanför T N. Detta inses lätt av att susceptibiliteten hos den paramagnetiska fasen hos en antiferromagnet går som c = T + q C jämför med c = T för en paramagnet. Detta C i sin tur betyder att den uppmätta susceptibliteten kommer att vara mindre än för en ren paramagnet ovanför Néeltemperaturen. Vakanser i platina 3. a) Antalet vakanser vid en given temperatur ges av n = N v

5 där N är det totala antalet atomer. Enligt Kittel, tabell 3, sid. 0 har Pt en fcc-struktur med den kubiska gitterparametern 3,9 Å. Eftersom den kubiska enhetscellen i en fcc-struktur har 4 atomer i basen, blir antalet atomer i en kub med sidan,00 cm:, ˆ N = 4 Á 3,9 0-0 = 6,64 0 Antalet vakanser i denna kub blir således: n = 6,64 0,3, ˆ exp -, Á ( ) ª,0 00 b) De övriga termerna kommer från de båda bidrag till värmekapaciteten som vi har diskuterat tidigare i kursen, nämligen fononbidraget och elektronbidraget. Vid höga temperaturer övergår fononbidraget till Dulong-Petits lag, dvs. C v = 3R och är således konstant, medan elektronbidraget går som C v = gt mer eller mindre oberoende av temperatur. Således motsvaras terman A av fononfbidraget och termen BT av elektronbidraget. ( ) mot c) Vi ser att diagrammet är plottat som log T DC, dvs. på det sätt som man T analyserar en exponentialfunktion. Flyttar vi om i den givna ekvationen för C v, så får vi att C v - A - BT = CT - v fi ( ) = logc + log exp - E v Á Á log T ( C v - A - BT) ˆ ˆ Omskrivning med logaritmlagar ger att log( T ( C v - A - BT) ) = log ( T DC) = logc + log ( e ) - E v = konst - E v Detta betyder att DC C v - A - BT och att den räta linjen kommer från att man kan utnyttja dessa data till att bestämma vakansbildningsenergin som lutningen på kurvan, eftersom den omskrivna ekvationen säger att log T DC ( ) ska ge en rät linje som är proportionell mot T och där linjen lutning är - E v. Lutningen i figuren är -,85,85 k B,35,00 04 ln0 =,96 0 4, varför vi får att E v ª,69 ev. Detta värde är således högre än vad man får från resistiva mätningar.